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• Série convergente

  

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  Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

  
  

  En bref

  Série convergente : série qui tend vers une valeur ou une limite spécifique
  (Limite)
  
  

  Définitions

  
  

  Série convergente

  Définition :
  La série \((S_n)\) de terme général \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est convergente si $$\exists\ell\in{\Bbb R},\quad S_n\longrightarrow\ell$$
  
  

  Somme d'une série

  Définition :
  Si la suite \((S_n)_{n\geqslant0}\) admet une limite finie dans \({\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on note $$S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } S_n$$
  On appelle alors \(S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k\) la somme de la série \(\sum_{k\geqslant0}u_k\)
  
  

  Série divergente

  Une série est divergente si elle ne converge pas vers un réel \(\ell\in{\Bbb R}\)
  

  Série grossièrement divergente

  On dit qu'une série diverge grossièrement si son terme général ne tend pas vers \(0\)
  Série absolument convergente
  

  Notation

  Définition :
  Si la suite \((S_n)_{n\geqslant0}\) admet une limite finie dans \({\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on note $$S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } S_n$$
  (//Limite)
  
  

  Propriétés

  
  

  Majoration

  Dans le casd'une série convergente, la somme de la série \(S\) vérifie \(\lim S_n=S\), mais aussi \(\forall n,S_n\leqslant S\)
  
  

  Lien avec le terme général de la série

  Une série ne peut pas être convergente si son terme général ne tend pas vers \(0\)
  (Série numérique (Terme général))
  

  Montrer que le terme général d'une série convergente tend vers \(0\)
  

  Limites de termes adjacents
  
  $$\begin{align} S_n&\longrightarrow S\\ \implies S_{n-1}&\longrightarrow S\\ \\ \implies S_n-S_{n-1}=u_n&\longrightarrow S-S=0\end{align}$$
  

  
  

  Théorèmes pour déterminer si la série est convergente/la limite

  
  

  Cas général

  Critère de Cauchy
  Théorème de comparaison série-intégrale
  Théorème de la sommation d'Abel
  Développement limité
  
  

  Séries de termes positifs

  Théorème des équivalents
  Théorème de comparaison
  Règle du quotient de d'Alembert - Critère de d'Alembert
  Règle des racines de Cauchy
  Règle de Raabe-Duhamel
  
  

  Séries de termes de signes alternés

  Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées
  
  

  Séries références

  Série de Riemann
  Série de Bertrand
  
  

  Exercices

  
  

  Nature de séries à termes positifs

  Préciser la nature de la série suivante :$$\sum\left(1-\frac1{n^3}\right)^{n^2}$$
  

  Passer à l'exponentielle
  $$\left(1-\frac1{n^3}\right)^{n^2}=e^{n^2\ln(1-\frac1{n^3})}$$
  

  En faisant un développement limité, on a : $$n^2\ln\left(1-\frac1{n^3}\right)=n^2\left(\frac{-1}{n^3}\right)(1+\varepsilon(n))=\frac{-1}{n}(1+\varepsilon(n))\sim\frac{-1}{n}$$
  Ainsi, $$e^{n^2\ln(1-\frac1{n^3})}=e^{-\frac1n(1+\varepsilon(n))}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^0=1$$
  Le terme général ne tend pas vers \(0\), donc la série est divergente
  

  (Puissance (Lien entre puissance et exponentielle), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0))

  
  

  Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\tan^n\left(\frac\pi4+\frac1n\right)$$
  

  En faisant un développement limité, on a : $$\tan^n\left(\frac\pi4+x\right)=\tan\left(\frac\pi4\right)+\tan^\prime\left(\frac\pi4\right) x=1+x(2+\varepsilon(x))$$

  Donc $$\tan^n\left(\frac\pi4+\frac1n\right)=e^{n\ln(1+\frac1n(2+\varepsilon(n)))}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^2$$ par croissances comparées
  Le terme général de la suite ne tendant par vers \(0\), la série est divergente
  

  (Fonction tangente (Développement limité en 0), Fonction exponentielle)

  
  

  Préciser la nature de la série suivante : $$\sum n^\frac1{2-\frac12\cos(\frac1n)}$$
  

  Limite de la puissance
  Soit \(u_n=n^\frac1{2-\frac12\cos(\frac1n)}\)
  \(\frac1n\longrightarrow0\), donc \(\cos(\frac1n)\longrightarrow1\) et \(2-\frac12\cos(\frac1n)\longrightarrow\frac32\)
  

  Limite du quotient avec la série de Riemann associée
  $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{n^{2-\frac12\cos(\frac1n)}}{n^{3/2}}=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } n^{\frac12-\frac12\cos(\frac1n)}$$
  

  Passage à l'exponentielle
  $$=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } e^{(\frac12-\frac12\cos(\frac1n))\ln n}$$
  

  DL
  Or, $$\frac12\left(1-\cos\left(\frac1n\right)\right)\ln n=\frac1{h^2}\left(-\frac14+\varepsilon_n\right)\quad\text{ avec }\quad h=\frac1n$$
  

  Conclusion avec la limite du terme général
  
  Donc \(\frac12(1-\cos(\frac1n))\longrightarrow0\) et \(u_n\longrightarrow e^0=1\)
  La suite est donc divergente
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{2n\ln n}$$
  

  Majorer en simplifiant la puissance
  On a \(\frac{n+3}{2n+1}\lt 1\) à partir d'un certain rang \(n\), donc on a à partir d'un certain rang \(n\) : $$\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{2n\ln n}\leqslant \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{n}$$
  

  De plus, on a : $$\frac{n+3}{2n+1}\sim\frac12$$
  

  La série est donc équivalente à $$\sum\left(\frac12\right)^n$$
  C'est une série géométrique convergente, donc la série est convergente
  

  (Série géométrique)

  
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac1{3^n}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}$$
  

  Simplifier la puissance
  Le terme général est égal à : $$\frac1{3^n}e^{n^2\ln(1+\frac1n)}$$
  

  Calcul du DL de \(\ln\) (il faut le faire au moins à l'ordre \(2\))
  Ce qui est égal à : $$\frac1{3^n}e^{n-\frac12+\varepsilon_n}$$
  

  Simplifier l'exponentielle
  $$=\frac1{3^n}e^ne^{-\frac12+\varepsilon_n}\sim\left(\frac e3\right)^n$$
  

  La série est donc égale à une série géométrique convergente, elle est donc convergente
  

  (Série géométrique)

  
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{(\ln n)^n}{n!}$$
  

  Initialisation de la règle du quotient de d'Alembert
  Si \(u_n=\frac{\ln^nn}{n!}\), alors $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\ln^{n+1}(n+1)}{(n+1)\ln^nn}$$
  

  Rassembler les puissances de \(n\)
  $$=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^n$$
  

  Simplification de ce qu'il y a dans la puissance
  Or d'après la relation fonctionnelle du logarithme népérien, on a : $$\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\frac{\ln n+\ln(1+\frac1n)}{\ln n}=1+\frac{\ln(1+\frac1n)}{\ln n}$$
  

  DL
  Donc $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\left(1+\frac1{n\ln n}(1+\varepsilon_n)\right)^n$$
  

  Après passage à l'exponentielle, on a : $$=\frac{\ln(n+1)}{n+1}e^{n\ln\left(1+\frac1{n\ln n}(1+\varepsilon_n)\right)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\times e^0=0$$
  Par croissances comparées
  La série est donc convergente d'après le critère du quotient de d'Alembert
  

  (Puissance (Lien entre puissance et exponentielle), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Relation fonctionnelle), Règle du quotient de d'Alembert - Critère de d'Alembert)

  
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}$$
  

  Multiplier et diviser par le conjugué
  On a : $$\begin{align}\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}&=\frac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}\right)\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}\right)}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\\ &=\frac1{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\end{align}$$
  

  Factorisation et équivalence
  
  $$=\frac1{\sqrt{2n}(\sqrt{1+\frac1{2n}}+1)}\sim\frac1{2\sqrt2 n^{1/2}}$$
  La série est donc équivalence à \(\frac1{2\sqrt2}\sum\frac1{n^{1/2}}\), avec \(\sum\frac1{n^{1/2}}\) une série de Riemann divergente. Elle est donc divergente
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum e-\left(1+\frac1n\right)^n$$
  

  Passage à l'exponentielle et factorisation
  On a : $$e-\left(1+\frac1n\right)^n=e-e^{n\ln(1+\frac1n)}=e\left[1-e^{n\ln(1+\frac1n)-1}\right]$$
  

  Développement limité de l'exponentielle et de \(\ln\)
  $$\begin{align}&=e\left[1-n\ln\left(1+\frac1n\right)-\left( n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)^2\left(\frac12+\varepsilon_n\right)\right]\\ &=e\left[\frac1{2n}\left(1+\varepsilon_n\right)\left(1+\varepsilon_n\right)\right]\end{align}$$
  

  Équivalence avec une série de Riemann
  
  On a donc $$e-\left(1+\frac1n\right)^n\sim\frac{e}{2}\frac1n$$
  La série est donc équivalente à une série de Riemann divergente, elle est donc divergente
  

  Indiquer la nature de la série suivante : $$\sum\sqrt[3]{n^3+2n}-\sqrt{n^2-1}$$
  

  Factorisation
  $$\begin{align}\sqrt[3]{n^3+2n}&=n\left(1+\frac2{n^2}\right)^{1/3}\\ \sqrt{n^2-1}&=n\left(1-\frac1{n^2}\right)^{1/2}\end{align}$$
  

  Calcul du DL
  $$\begin{align}\sqrt[3]{n^3+2n}&=n\left(1+\frac2{3n^2}+\varepsilon_n\frac1{n^3}\right)\\ \sqrt{n^2-1}&=n-\frac1{2n}+\varepsilon_n\left(\frac1{n^2}\right)\end{align}$$
  

  On a donc : $$\sqrt[3]{n^3+2n}-\sqrt{n^2-1}=\frac43\frac1n+\varepsilon_n\left(\frac1{n^2}\right)\sim\frac1n$$
  La série est donc divergente
  

  Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\left(\frac1{\operatorname{ch} n}\right)^{n^{5/2}}$$
  

  Passage à l'exponentielle
  $$u_n=\left(\frac1{\operatorname{ch} n}\right)^{n^{5/2}}=e^{n^{5/2}\ln(\frac1{\operatorname{ch} n})}$$
  

  DL
  Or, $$\ln(\operatorname{ch}^{-1}n)=\ln\left(1-\frac1{n^2}\left(\frac12+\varepsilon_n\right)\right)=-\frac1{2n^2}+\varepsilon_n\frac1{n^2}$$
  

  Calcul du terme général
  On a alors : $$n^{5/2}\left(-\frac1{2n^2}\right)(1+\varepsilon_n)=\frac{-n^{1/2}}2(1+\varepsilon_n)$$
  Donc $$u_n=e^{\frac{-n^{1/2}}{2}(1+\varepsilon_n)}$$
  

  Majoration
  Or, à partir d'un certain rang \(N\), on a :$$\sqrt n\frac{1+\varepsilon_n}2\geqslant\frac{\sqrt n}4\implies e^{\sqrt n(\frac{1+\varepsilon_n}2)}\geqslant e^{\frac{\sqrt n}4}$$
  

  Croissance comparées pour majorer
  Et, par croissances comparées, on a à partir d'un certain rang \(n\) : $$\lim_{t\to+\infty}\frac{t^n}{e^t}=0\implies\frac1{e^{\sqrt n/4}}\leqslant\frac M{n^2}$$
  

  Conclusion avec réécriture du terme général
  
  On a donc : $$u_n=e^{ \frac{-n^{1/2}}2(1+\varepsilon_n)}\sim\frac1{e^{-\sqrt n/4}}\leqslant M\frac1{n^2}$$
  La série \(M\sum\frac1{n^2}\) étant convergente, la série est convergente
  

  (Cosinus hyperbolique)

  
  

  Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)$$
  

  Valeur particulière de \(p\)
  Si \(p=0\), alors on a : $$\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)=\cos\left(\frac\pi2\right)=0$$
  Le terme général étant nul, la série est donc convergente pour \(p=0\)
  

  Dans l'autre cas, on transforme en sinus (ce qui est mieux pour les DL)
  Si \(p\neq0\), on a : $$\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)=-\sin\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}-\frac\pi2\right)$$
  

  Factorisation et simplification
  $$=\sin\left(\frac{\pi p}{n(2+p/n)}\right)$$
  

  Équivalences \(\to\) conclusion
  
  $$\sim\frac{\pi p}{n(2+p/n)}\sim\frac{\pi p}2\frac1n$$
  La série est équivalente à une série de Riemann divergente, elle est donc divergente
  

  
  

  Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
  Étudier la nature de la série $$\sum_n a_n^2$$
  

  Terme général converge vers \(0\)
  Puisque \(\sum_na_n\) converge, on a \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
  

  Définition de la limite
  Alors, d'après la définition de la limite, on a : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N,\forall n\geqslant N,\quad 0\lt a_n\leqslant\varepsilon$$
  Si on prend \(\varepsilon=1\), on a \(\forall n\geqslant N,a_n\leqslant1\)
  

  Alors $$\sum_n a_n^2\leqslant\sum_na_n\times1$$
  Puisque \(\sum_na_n\) converge, la série est convergente
  

  Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
  Étudier la nature de la série $$\sum_n\frac{a_n}{1+a_n}$$
  

  \((a_n)_n\) étant positive, on a : $$\sum\frac{a_n}{1+a_n}\leqslant\sum a_n$$
  La série est donc convergente
  

  Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
  Étudier la nature de la série $$\sum_na_na_{2n}$$
  

  \((a_{2n})_n\) étant une suite extraite de \((a_n)_n\), elle est également convergente
  Alors d'après la définition de la limite, on a à partir d'un certain rang \(N\) : $$a_{2n}\leqslant1\implies a_na_{2n}\leqslant a_n$$
  La série est donc convergente
  

  Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
  Étudier la nature de la série $$\sum_n\frac{\sqrt{a_n} }{n}$$
  

  Majoration
  
  On a la majoration : $$ab\leqslant\frac12(a^2+b^2)\implies\sum_n\frac{\sqrt{a_n}}n\leqslant\sum_n\frac12\left( a_n+\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(\sum_n a_n+\sum_n\frac1{n^2}\right)$$
  Les deux séries sont convergentes, donc la série \(\sum_n\frac{\sqrt{a_n}}n\) l'est également
  

  Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
  On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
  \(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)
  Montrer que si les \((u_n)_n\) sont tous positifs, alors la série \(\sum_{n\geqslant n_0}v_n\) est convergente
  

  \(u_n\geqslant0\implies1+u_n\geqslant1\implies v_n=\ln(1+u_n)\geqslant0\)

  Développement limite
  
  $$\ln(1+u_n)\sim u_n$$puisque \(\sum u_n\) converge, alors on a bien \(\sum v_n\) converge
  

  Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
  On sait que \((u_n)_n\) est positive et décroissante et tend vers \(0\)
  Établir la convergence de la série \(\sum u_n^2\) et calculer sa somme
  

  On a \(u_{n+1}=u_n-u_n^2\), donc on a : $$\begin{align} S_m&=u_0^2+u_1^2+\ldots+u^2_m\\ &=u_0\cancel{-u_1+u_1-u_2+\ldots+u_m}-u_{m+1}\\ &=u_0-u_{m+1}\\ &\underset{m\to+\infty}\longrightarrow u_0=a\end{align}$$
  La série converge donc vers \(u_0=a\)
  

  Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
  On sait que \((u_n)_n\) est positive et décroissante et tend vers \(0\) et que \(\sum u_n^2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} a\)
  Montrer que la série \(\sum\ln(\frac{u_{n+1}}{u_n})\) diverge
  Que vaut \(\displaystyle\lim_{N\to+\infty}\sum^N\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) ?
  

  On a $$\begin{align} S_m&=\ln\left(\frac{u_1}{u_0}\right)+\ln\left(\frac{u_2}{u_1}\right)+\ldots+\ln\left(\frac{u_{m+1}}{u_m}\right)\\ &=\ln (u_1)-\ln (u_0)+\ln(u_2)-\ln(u_1)+\ldots+\ln(u_{m+1})-\ln(u_m)\\ &=-\ln (u_0)+\ln(u_{m+1})\end{align}$$
  \(u_{m+1}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), donc \(S_m{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}-\infty\)
  

  (Logarithme népérien - Logarithme naturel (Quotient))

  
  

  Discuter de la convergence de la série \(\sum a_n\), sachant que \(a_n\) est positif et que \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) converge
  

  Admettons que \(a_n\) est majorée
  Alors on a \(\frac{a_n}{1+a_n}\leqslant\frac{a_n}{M+1}\)

  Puisque \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) est convergente, on a \(\sum\frac{a_n}{1+M}\) convergente, donc \(\sum a_n\) est convergente

  Montrer que \((a_n)_n\) est bien majorée
  Si \((a_n)_n\) n'est pas majorée, alors \(\exists(a_{\varphi(n)})_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\)
  On a donc $$\frac{a_{\varphi(n)}}{1+a_{\varphi(n)}}=\frac1{\frac1{a_{\varphi(n)}}+1}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$
  

  Or, si \(b_n=\frac{a_n}{1+a_n}\), alors \(b_{\varphi(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\), ce qui est une contradiction car \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) converge
  La série \(\sum a_n\) est donc convergente
  

  
  

  Pour \(n\geqslant1\), on pose \(u_n=\cfrac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}\)
  Montrer que la série \(\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge
  

  Majoration
  $$\frac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}=\frac1{e^\sqrt n\sqrt n}\leqslant\frac{C}{n^2}\iff\frac{n^{3/2}}{e^\sqrt n}\leqslant C$$
  

  Croissances comparées pour démontrer la majoration
  Or, $$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3/2}}{e^\sqrt x}&=\left\{\begin{array}{}\sqrt x=t\\ x=t^2\\ t\to+\infty\end{array}\right\}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t^3}{e^t}=0\end{align}$$
  

  Donc on a $$\frac{n^{3/2}}{e^\sqrt n}\leqslant C\implies\frac1{e^\sqrt n\sqrt n}\leqslant\frac C{n^2}\qquad\text{CV}$$
  

  
  

  Nature de séries à termes de signes non positifs

  Étudier la convergence de la série de terme général $$\sum u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n\sqrt n+1}{n}$$
  

  Diviser chaque terme par \((-1)^n\)
  Le signe de \(u_n\) dépend de la parité de \(n\)
  On factorise par \((-1)^n\) : $$u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$$
  

  Séparation en deux suites
  $$=v_n+w_n\quad\text{ avec }\quad v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\quad\text{ et }\quad w_n=\frac1n$$
  

  Convergence de chaque suite
  \(\sum v_n\) converge d'après le critère de Leibniz et \(\sum w_n\) diverge
  Montrons que \(\sum u_n=\sum v_n+w_n\) diverge
  

  Montrer que la série est divergente par l'absurde en utilisant le fait que \(\sum w_n\) est divergente
  
  Par l'absurde, supposons que \(\sum u_n\) converge
  Alors, puisque \(\sum u_n\) converge et \(\sum v_n\) converge, \(\sum u_n-v_n=\sum w_n\) converge
  Il y a une contradiction, donc \(\sum u_n\) est divergente
  

  
  

  Étudier la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}$$
  

  Éjecter \((-1)^n\) pour vérifier si la série respecte le critère de Leibniz
  Si \(u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\), alors on a : $$u_n=(-1)^n\frac1{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}$$
  \(\sum u_n\) ne respecte donc pas le critère de Leibniz
  Soit \(a_n=\frac1{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\)
  

  Factorisation par le terme le plus convergent \(\to\) équivalence
  $$u_n=\frac{(-1)^n}{(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\left(\frac1{1+\frac{n}{(-1)^n\sqrt{n^3+1}}}\right)\sim\frac1{n^{3/2}}$$
  La série est donc convergente
  

  $$\lvert u_n\rvert=\frac1{\sqrt{n^3+1}}\left|\frac1{1+\frac{(-1)^nn}{\sqrt{n^3+1}}}\right|\sim\frac1{n^{3/2}}$$
  La série est donc également absolument convergente
  

  Étudier la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum\frac1{(-1)^nn^2+n+1}$$
  

  Valeur absolue du terme général
  Si \(u_n=\frac1{(-1)^nn^2+n+1}\), alors on a : $$\lvert u_n\rvert=\frac1{\lvert (-1)^nn^2\rvert\left|1+\frac{(-1)^n}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right|}$$
  

  Équivalence avec une série de Riemann \(\to\) convergence
  
  $$\lvert u_n\rvert\sim\frac1{n^2}$$
  La série donc absolument convergente, et donc convergente
  

  
  

  Étudier la nature de la série : $$\sum\frac{\cos n}{n+\cos n}$$
  

  Factorisation par \(n\)
  Si \(u_n=\frac{\cos n}{n+\cos n}\), alors on a : $$u_n=\frac{\cos n}{n}\frac1{1+\frac{\cos n}n}$$
  

  Développement limité
  $$=\frac{\cos n}n\left(1-\frac{\cos n}n(1+\varepsilon_n)\right)=\underbrace{\frac{\cos n}n}_{v_n}-\underbrace{\frac{\cos^2(n)}{n^2}(1+\varepsilon_n)}_{w_n}$$
  

  On a \(\sum v_n\) convergente et $$w_n\sim\frac{\cos^2(n)}{n^2}\leqslant\frac1{n^2}$$
  \(\sum w_n\) est donc également convergente, donc \(\sum u_n\) converge
  

  
  

  Étudier la nature de la série : $$\sum w_n\quad\text{ avec }\quad w_n=\frac{\cos n}{n^{1/2}+\cos n}$$
  

  Factorisation
  On a : $$w_n=\frac{\cos n}{n^{1/2}}\left(\frac1{1+\frac{\cos n}{n^{1/2}}}\right)$$
  

  Développement limité du terme entre parenthèses
  (on ne peut pas raisonner avec le théorème des équivalents car la série n'est pas à termes positifs, il faut aller plus loin via un développement limité)
  $$=\underbrace{\frac{\cos n}{n^{1/2}}}_{a_n}-\underbrace{\frac{\cos^2(n)}{n}}_{b_n}+\underbrace{\frac{\cos^3(n)}{n^{3/2}}(1+\varepsilon_n)}_{c_n}$$
  

  Étudier la convergence de chaque terme
  
  \(\sum a_n\) converge d'après le théorème d'Abel, et \(\sum c_n\) converge (convergence absolue)
  De plus, on a : $$b_n=\frac{\cos^2(n)}{n}=\frac{1+\cos(2n)}{2n}=\frac1{2n}+\frac{\cos(2n)}{2n}$$puisque \(\sum\frac1{2n}\) diverge et \(\sum\frac{\cos(2n)}{2n}\) converge, \(\sum b_n\) diverge
  La série est donc divergente
  

  
  

  Étudier la nature de la série suivante : $$\sum v_n\quad\text{ avec }\quad v_n=\frac{\cos n}{n^{3/4}+\cos n}$$
  

  Factorisation
  $$v_n=\frac{\cos n}{n^{3/4}}\times\frac1{1+\frac{\cos n}{n^{3/4}}}$$
  

  On ne peut pas raisonner par équivalence car la série n'est pas à termes positifs, on calcule alors le DL
  $$=\frac{\cos n}{n^{3/4}}-\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}+\frac{\cos^3(n)}{n^{9/4}}(1+\varepsilon_n)$$
  

  • \(\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}\sim\frac1{n^{3/2}}\), donc \(\sum\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}\) converge
  • \(\sum\frac{\cos n}{n^{3/4}}\) et \(\sum\frac{\cos^3(n)}{n^{9/4}}\) convergent, donc \(v_n\) converge

  
  

  Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
  On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
  Montrer que le terme \(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)
  

  \(\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge, donc \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=0\), donc d'après la définition de la limite, \(\exists n_0,\forall n\geqslant n_0, u_n\lt \frac12\) donc \(v_n\) est bien définie
  

  (Limite en l'infini)

  
  

  Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
  On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
  \(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)
  Déterminer la nature de \(\sum_{n\geqslant n_0}v_n\) lorsque \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\)
  

  Développement limité
  $$v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n\left(\frac12+\varepsilon_n\right)$$
  

  • \(\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) converge d'après le théorème de la série alternée
  • \(\sum\frac1n(\frac12+\varepsilon_n)\) diverge (équivalence avec une série de Riemann)

Donc la série \(\sum v_n\) diverge

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Soit \(\sum u_n\) une série convergente
Donner la nature de la série $$\sum u_n^2$$

Puisque \(\sum u_n\) converge, \(u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) et, si \(u_n\gt 0\), on a d'après la définition de la limite $$\exists M\gt 0,0\leqslant u_n\lt M$$
Donc \(\sum u_n^2\leqslant M\sum u_n\) et \(\sum u_n^2\) converge

Si \(u_n\lt 0\), alors on ne peut pas connaître la nature de la série \(\sum u_n^2\) (contre-exemple : \(\sum(-1)^n\))

Discuter selon les valeurs de \(\alpha\gt 0\) la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}$$

Cas absolument convergent
On a : $$\lvert u_n\rvert=\left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}\right|\sim\left|\frac1{n^\alpha}\right|$$
La série est donc absolument convergente (et donc convergente) pour \(\alpha\gt 1\) par équivalence avec une série de Riemann convergente

Pour le reste des cas, factorisation
Pour \(0\lt \alpha\leqslant1\), on a : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\frac1{1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}}$$

Calcul du développement limité
On a $$\frac{(-1)^n}{n^\alpha}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ d'après le théorème des gendarmes, peut donc calculer le développement limité :
$$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}-\frac{1}{n^{2\alpha}}(1+\varepsilon_n)$$

Convergence de la partie la moins compliquée
\(\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\) converge d'après le théorème de la série alternée

Convergence de l'autre partie
\(\sum\frac1{2^{2\alpha}}(1+\varepsilon_n)\) est à termes positifs, elle est donc convergente si \(\alpha\gt \frac12\) et divergente si \(\alpha\leqslant\frac12\) par comparaison avec une série de Riemann

Conclusion

La série \(\sum u_n\) est donc convergente si \(\alpha\gt \frac12\) et divergente sinon. Elle est de plus absolument convergente si \(\alpha\gt 1\)

(Série absolument convergente, Série de Riemann (Convergence), Théorème des équivalents (Séries), Théorème des gendarmes - Théorème de l'encadrement, Fonction inverse (Développement limité en 0), Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Établir que la série $$\sum\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$ est convergente

Montrer que la série est absolument convergente en appliquant le théorème d'Alembert

Si \(u_n=\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\), alors on a $$\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_n\rvert}=\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\frac{(2n)!}{x^{2n}}=\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

(Cosinus (Développement limité en 0), Règle du quotient de d'Alembert - Critère de d'Alembert)

Justifier la convergence de la série numérique de terme général \(\ln(\frac{n+1}n)-\frac1n\)

DL

$$\ln\left(\frac{n+1}n\right)-\frac1n=\ln\left(1+\frac1n\right)-\frac1n=\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right)-\frac1n$$ avec \(\lvert O(\frac1{n^2})\leqslant\frac C{n^2}\) terme général d'une série convergente
La série est donc absolument convergente

Sachant que la série de terme général \(\ln(\frac{n+1}n)-\frac1n\) converge, déduire la convergence de la suite \(\ln(n+1)-S_n\), avec $$S_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$$

Réécriture de la somme pour y faire apparaître les termes de la série
$$x_n=\sum_{n=1}^Na_n=-S_n+\sum^N_{n=1}\ln(n+1)-\ln(n)=-S_n+\ln(N+1)$$

Conclusion

Donc \((x_N)_N\) converge et \(x_N=\ln(N+1)-S_N\) et $$\exists\ell\in{\Bbb R},\qquad\ell=\lim_{N\to+\infty}\ln(N+1)-S_N$$

Corrections de DS

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{2^n}{2^n+n^2}$$

Termes positifs \(\to\) on peut utiliser les théorèmes
La série est à termes positifs

On factorise : $$u_n=\cancel{\frac{2^n}{2^n}}\frac{1}{1+\frac{n^2}{2^n}}$$

Terme général ne tend pas vers \(0\) \(\to\) divergence

On a \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{n^2}{2^n}=0\), donc \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=1\)
La série est donc divergente

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{a^n}{n^2}\quad\text{ avec }\quad a\in{\Bbb R}$$

Disjonction des cas
On va montrer la convergence "absolue" :
Si \(\lvert a\rvert\gt 1\), \(\frac{\lvert a\rvert^n}{n^2}\longrightarrow+\infty\) donc la série diverge grossièrement

Si \(\lvert a\rvert\leqslant1\), $$\frac{\lvert a\rvert^n}{n^2}\leqslant\frac1{n^2}$$
Comme \(\sum\frac1{n^2}\) converge, on a par comparaison \(\sum u_n\) converge
La série est donc absolument convergente

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\sqrt{\frac{n+1}n}-\sqrt{\frac n{n+1}}$$

Termes positifs \(\to\) on peut appliquer les théorèmes
On a \(\frac{n+1}n\geqslant1\) et \(\frac n{n+1}\leqslant1\), donc la série est à termes positifs

DL \(\to\) équivalence avec Riemann

$$\begin{align}\sqrt{\frac{n+1}n}&=\left(1+\frac1n\right)^{1/2}=1+\frac1{2n}+o\left(\frac1{n^2}\right)\\ \sqrt{\frac n{n+1}}&=\frac1{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}=\left(1+\frac1n\right)^{-1/2}=1-\frac1{2n}+o\left(\frac1{n^2}\right)\end{align}$$
Donc \(u_n=\frac1n+o\left(\frac1{n^2}\right)\sim u_n\)
La série est donc divergente par équivalence avec une série de Riemann divergente

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n}{\ln(\ln(n+2))}$$

Séries alternées

L'application \(x\mapsto\ln(\ln(x+2))\) est croissante
On applique alors le critère des série alternées :
On a \(u_n=(-1)^na_n\) avec \(a_n\) positive, décroissante et tendant vers \(0\)
La série est donc convergente d'après le critère des séries alternées

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\left|\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)\right|$$

Termes positifs \(\to\) on peut utiliser les théorèmes
La série est à termes positifs

On a $$\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)\sim\frac{(-1^n)}n\implies u_n\sim\frac1n$$
La série est donc divergente par équivalence avec une série de Riemann

(Série de Riemann)

Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$$

Pas termes positifs \(\to\) on peut pas raisonner par équivalence \(\to\) DL

$$u_n=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n}}_{\text{série alternée CV}}+\underbrace{o\left(\frac1{n^2}\right)}_{\text{terme général d}^\prime\text{une série ACV, donc CV}}$$ la série étant la somme de deux séries convergente, elle est donc convergente

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

On considère la série de terme général \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
La série \(\sum u_n\) est convergente, mais pas absolument convergente
On note \(\ell=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\), \(\ell\gt 0\)
Soit \(\alpha\gt 0\). La série de terme général \(w_n=\frac{u_0+u_1+\ldots+u_n}{n^\alpha}\) converge-t-elle ?
(on discutera selon les valeurs de \(\alpha\))

Terme général positif \(\to\) on peut appliquer les théorèmes
Le terme général est supérieur à \(0\) pour \(n\) sufisamment grand

On a donc $$\frac{u_0+u_1+\ldots+u_n}{n^\alpha}\sim\frac\ell{n^\alpha}$$
La série est donc convergente pour \(\alpha\gt 1\) par comparaison avec une série de Riemann

(Théorème de comparaison)

Soit \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite strictement croissante d'entiers.
Donner la nature de la série $$\sum\frac1{\operatorname{ppcm}(a_1,\dots,a_n)}$$

Majoration du dénominateur
On a \(\operatorname{ppcm}(a_1,\dots,a_n)\geqslant\operatorname{ppcm}(a_{n-1},a_n)\)

Réécriture avec le \(\operatorname{pgcd}\)
$$\frac1{\operatorname{ppcm}(a_{n-1},a_n)}=\frac{\operatorname{pgcd}(a_{n-1},a_n)}{a_{n-1}a_n}$$

Majoration du \(\operatorname{pgcd}\)
Or, on a \(\operatorname{pgcd}(a_{n-1},a_n)\mid a_n-a_{n-1}\gt 0\), donc \(\operatorname{pgcd}(a_{n-1},a_n)\leqslant a_n-a_{n-1}\)

En déduire un majorant du terme général de la série
On a donc : $$\frac1{\operatorname{ppcm}(a_1,\dots,a_n)}\leqslant\frac{a_n-a_{n-1}}{a_na_{n-1}}=\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}$$

Conclusion via le caractère télescopique

C'est une série télescopique convergence, donc la série est convergence

(Ppcm)

Donner la nature de la série $$\sum\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)$$

Poser \(a_n\) le truc particulier + son conjugué
Soit $$a_n:=(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n$$

Réécriture avec la formule du binôme de Newton
$$a_n=\sum^n_{k=0}\binom nk(1+(-1)^k)\sqrt3^k2^{n-k}$$

Les termes impairs s'annulent \(\to\) réécriture de la somme
$$=\underset{k\text{ pair}}{\sum_{0\leqslant k\leqslant n}}2\binom nk\sqrt3^k2^{n-k}$$

La somme est un entier
Chaque terme de la somme est un entier (car \(k\) pair pour \(\sqrt3^k\)), donc \(a_n\in{\Bbb N}\)

Réécriture du terme général avec des formules de symétrie et d'addition de \(\sin\) (et comme \(a_n\) est un entier)
Or, $$\begin{align}\lvert\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)\rvert&=\lvert\sin(\pi a_n-\pi(2-\sqrt3)^n\rvert\\ &=\lvert\sin(-\pi(2-\sqrt3)^n)\rvert\\ &=\lvert\sin(\pi(2-\sqrt3)^n)\rvert\end{align}$$

Équivalence du \(\sin\) (car son argument tend vers \(0\))
$$\underset{+\infty}\sim\pi(2-\sqrt3)^n$$

Conclusion via une série géométrique

Or, \(\sum\pi(2-\sqrt3)^n\) est une série géométrique absolument convergente
Donc la série est convergence

(Formule du binôme de Newton)